Freitag, 18. September 2015

[ #eText ] Quantenmechanik - Skriptum zur Vorlesung

[Free eBook] Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie, welche das Verhalten der Materie im atomaren und subatomaren Bereich beschreibt. Sie ist eine der Hauptsäulen der modernen Physik. Das vorliegende 400seitige Werk ist ein kostenloses! "Skriptum" (nicht nur) für die Studenten der Ruhr-Uni Bochum.

Die Quantenmechanik. Darunter versteht der Insider eine physikalische Theorie, welche das Verhalten der Materie im atomaren und subatomaren Bereich beschreibt. Sie erlaubt im Gegensatz zu den Theorien der klassischen Physik eine Berechnung der physikalischen Eigenschaften von Materie auch im Größenbereich der Atome und darunter. Sie bildet die Grundlage zur Beschreibung der Phänomene der Atomphysik, der Festkörperphysik und der Kern- und Elementarteilchenphysik, aber auch verwandter Wissenschaften wie der Quantenchemie.

Quantenmechanik ist eine der Hauptsäulen der modernen Physik. Das vorliegende 400seitige Werk ist ein "Skriptum" für die Studenten der Ruhr-Uni Bochum.


Ruhr-Universität Bochum. Ein Lob gebühren der Universität und dem Autor dafür, dass sie das "Script" unentgeltlich öffentlich zugänglich gemacht haben. Das ist nicht nur im deutschen Sprachraum noch keineswegs eine Selbstverständlichkeit und wirkt in praxi dem Vorurteil vom Elfenbeinturm wirksam entgegen.

Inhalt:
        Vorlesung Theoretische Physik III
        (Quantenmechanik)
        gehalten
        Reinhard Schlickeiser
        Institut f¨ur Theoretische Physik
        Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik
        Grafiken von Christian R¨oken
        Bochum 2007
        399 Seiten
        Downloadgröße: 2,24 MB

[FREIHANDbuch]⇒  

Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis sagt mehr:
0 Einleitung 1
0.1 Vorbemerkung  1
1 Wellenmechanik 3
1.1 Welle-Teilchen Dualismus 3
1.2 Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen   3
1.2.1 Photoelektrischer Effekt    3
1.2.2 Compton-Effekt 6
1.3 Wellenaspekte der Materie 8
1.4 Wellenfunktion  9
1.5 Wellenmechanik der Materie 10
1.5.1 Korrespondenzmaßiger Ubergang zu Differentialoperatoren im Orts-
raum, Freie Schrodinger-Gleichung    10
1.5.2 Klein-Gordon-Gleichung fur ein kr  aftefreies Teilchen   12
1.5.3 Konstruktion eines freien Wellenpakets   13
1.5.4 Ausbreitung eines freien Wellenpakets aufgrund der Schrodinger-Gleichung 17
1.6 Statistische Interpretation der Wellenmechanik   22
2 Schrodinger-Gleichung 27
2.1 Bewegungsgleichungen im Schrodinger-Bild    27
2.1.1 Zwischenbemerkung: Operatoren    27
2.1.2 Wellengleichung 27
2.1.3 Allgemeines Verfahren fur Systeme mit klassischer Korrespondenz   30
2.1.4 Mehrdeutigkeiten bei der korrekten Herstellung des Hamilton-Operators 31
2.2 Normerhaltung und Kontinuitatsgleichung    31
2.2.1 Beispiel: Teilchen im eindimensionalen Potential   33
2.2.2 Kontinuitatsgleichung 33
2.3 Erwartungswerte 34
2.3.1 Ortsdarstellung 34
2.3.2 Impulsdarstellung 36
2.3.3 Symmetrisierung 38
2.4 Rechnen mit Operatoren 39
2.4.1 Rechenregeln fur Kommutatoren    40
2.4.2 Der Bahndrehimpuls-Operator    41
2.5 Ehrenfestscher Satz 42
2.6 Heisenbergsche Unscharferelation    44
2.6.1 Beispiel 1: Wellenpaket    46
2.6.2 Beispiel 2: Beugung am Spalt    47
2.6.3 Konsequenz der Unscharferelation fur Atome    48
2.7 Wellenmechanik als formale klassische Feldtheorie (Ausbau der allgemeinen
Theorie)  49
2.7.1 Lagrange- und Hamilton-Formalismus fur Felder    49
2.7.2 Lagrange-Dichte und Hamilton-Dichte   49
2.7.3 Lagrange-Formalismus 51
2.7.4 Hamilton-Dichte 52
2.8 Zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung    52
2.8.1 Separationsansatz 52
2.8.2 Vorteile von separablen Losungen    54
2.9 Erweiterung auf Mehrteilchensysteme    55
3 Eindimensionale Quantensysteme 57
3.1 Eindimensionale Schrodinger-Gleichung    57
3.2 Potentialtopf mit unendlich hohen Wanden    59
3.2.1 Losungseigenschaften 62
3.3 Der harmonische Oszillator 64
3.3.1 Algebraische Methode 65
3.3.2 Analytische Methode 68
3.3.3 Hermitesche Polynome    72
3.3.4 Die Nullpunktsenergie 76
3.4 Freie Teilchen  78
3.5 Potentialstufe  80
3.5.1 Fall 1: Teilchenenergie oberhalb Potentialstufe E > V0  81
3.5.2 Fall 2: Teilchenenergie unterhalb Potentialstufe E < V0  84
3.5.3 Unendlich hohe Potentialstufe V0 → ∞   85
3.5.4 Wellenpakete 85
3.6 Differentialgleichungen mit regularen Singularitaten   86
3.6.1 Allgemeine Betrachtungen    87
3.6.2 Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung  91
3.7 Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse   96
3.7.1 Beispiel 1: Besselfunktion    97
3.7.2 Beispiel 2: Hypergeometrische Differentialgleichung   98
3.7.3 Nebenbemerkung: Zusammenhang zwischen der hypergeometrischen
und der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung  98
3.7.4 Fuchssche Differentialgleichungen    99
4 Naherungsverfahren Schrodinger-Gleichung 107
4.1 Lineare homogene Differentialgleichung 2Ordnung   107
4.1.1 Normalform 107
4.1.2 Selbst-adjungierte Form    108
4.1.3 Beispiel: konfluente hypergeometrische Differentialgleichung  109
4.1.4 Riccati-Gleichung 110
4.2 WKB-Naherung (Methode von Liouville-Green)   111
4.2.1 Methode 111
4.2.2 Anwendung auf die stationare Schrodinger-Gleichung  112
4.2.3 Anwendung: Linearer harmonischer Oszillator (III)   122
4.2.4 Rezept zur approximativen Losung linearer homogener Differentialgleichungen
2Ordnung    123
4.2.5 Rezept zur approximativen Losung selbstadjungierter linearer Differentialgleichungen
2Ordnung    123
4.3 Anwendung: α-Zerfall, Tunneleffekt    125
4.3.1 Tunneleffekt 125
4.3.2 Anwendung auf den α-Zerfall    128
4.4 Rayleigh-Ritz Variationsmethode    131
4.4.1 Theorie 131
4.4.2 Beispiel: Grundzustand des linearen harmonischen Oszillators (IV)  132
4.4.3 Bezug zur Variationsrechnung    134
5 Allgemeine Formulierung der Quantenmechanik 135
5.1 Zustande und Observable im Hilbert-Raum    135
5.1.1 Ket-Vektor 135
5.1.2 Dualer Vektorraum, Bra-Vektor    136
5.1.3 Observablen 138
5.1.4 Basis  141
5.2 Darstellung von Vektoren 143
5.3 Darstellung von Operatoren 144
5.4 Eigenwertgleichung in Matrixform    146
5.4.1 Sakulargleichung 146
5.4.2 Entartete Eigenwerte, Schmidtsches Orthonormierungsverfahren  147
5.5 Wechsel der Darstellung, unitare Transformationen   148
5.6 Messprozess  151
5.6.1 Axiome der Quantenmechanik    151
5.6.2 Gleichzeitige Messbarkeit    152
6 Quantendynamik 155
6.1 Schrodinger-Bild 155
6.2 Heisenberg-Bild 156
6.3 Anmerkungen zum Schrodinger-Bild und Heisenberg-Bild   158
6.4 Wechselwirkungs-Bild 160
6.5 Heisenbergsche Operatormechanik    161
6.5.1 Quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme im Heisenberg-Bild  162
6.5.2 Beispiel: Linearer harmonischer Oszillator (V=I)   162
6.6 Allgemeine Unscharferelation 164
6.6.1 Schwartzsche Ungleichung fur das Skalarprodukt    164
6.6.2 Ableitung der allgemeinen Unscharferelation   164
6.6.3 Beispiele 166
7 Dreidimensionale Quantensysteme 169
7.1 Schrodinger-Gleichung in Kugelkoordinaten    169
7.2 Drehimpuls-Operator 172
7.2.1 Bestimmung der Eigenwerte    173
7.2.2 Weiterer Beweis der Eigenwerteigenschaften   175
7.2.3 Eigenfunktionen des Drehimpuls-Operators in Ortsdarstellung  176
7.3 Legendre-Polynome 178
7.3.1 Eigenschaften der Legendre-Polynome   179
7.3.2 Assoziierte Legendre-Polynome    184
7.4 Zentralfelder  187
7.5 Coulomb-Problem 188
7.5.1 Losung mit Kummer-Funktion    190
7.5.2 Mitbewegung des Atomkerns    192
7.5.3 Das Spektrum des Wasserstoffatoms    194
7.5.4 Kontinuumszustande E > 0 im Coulomb-Feld   196
7.6 Darstellung des Spins 196
7.6.1 Spin s =   197
7.6.2 Gedankenexperiment zu den Konzepten der Quantenmechanik  200
7.6.3 Magnetisches Moment    201
7.6.4 Heuristische Herleitung der Spin-Bahn-Kopplung   202
7.7 Identische Teilchen, Pauli-Prinzip    202
7.8 Periodisches System 205
7.8.1 Helium (Z = 2) 205
7.8.2 Metalle (Z > 2) 206
8 Storungstheorie 209
8.1 Zeitunabhangige Storungstheorie    209
8.1.1 Nicht-entarteter Eigenwert    210
8.1.2 Entarteter Eigenwert 213
8.2 Anwendung: Feinstruktur von Wasserstoff    215
8.2.1 Relativistische Korrektur des Hamilton-Operators   215
8.2.2 Spin-Bahn-Kopplung 217
8.2.3 Feinstrukturformel 219
8.3 Anwendung: Stark-Effekt 220
8.3.1 Nicht-entarteter Grundzustand |n, l, mi =| 1, 0, 0i  221
8.3.2 Entarteter Zustand n = 2    223
8.4 Anwendung: Zeeman-Effekt 226
8.4.1 Zeeman-Storoperator 226
8.4.2 Ohne Spin-Berucksichtigung     228
8.4.3 Begrundung: Vernachl  assigung des Operators Hˆ0   229
8.4.4 Mit Spin-Berucksichtigung     230
8.4.5 Paschen-Back-Effekt 231
8.4.6 Schwacher Zeeman-Effekt    231
8.5 Zeitabhangige Storungstheorie    233
8.5.1 Uberg  ange 1Ordnung    234
8.5.2 Mathematische Zwischenbetrachtung    235
8.5.3 Goldene Regel 237
8.5.4 Periodische Storung 238
9 Semiklassische Theorie der Strahlung 241
9.1 Grundgleichungen 241
9.2 Absorption und induzierte Emission    243
9.2.1 Monochromatische externe Felder    243
9.2.2 Absorption 245
9.2.3 Induzierte Emission 246
9.2.4 Nicht-monochromatische externe Felder   247
9.3 Elektrische Dipol-Approximation    251
9.4 Spontane Emission 253
9.4.1 Lebensdauer angeregter Zustande    254
9.4.2 Linienverbreiterung 255
9.5 Auswahlregeln  255
9.5.1 Wasserstoffahnliche Atome    255
9.5.2 Lebensdauer des 2p-Zustands    259
9.5.3 Laporte’s Auswahlregel    261
9.5.4 Viel-Elektronen Systeme    262
9.5.5 Absolute Ubergangsraten und Oszillatorst  arke   262
9.6 Photoelektrischer Effekt 262
10 Streutheorie 269
10.1 Klassische Streutheorie 269
10.2 Quantenmechanische Streutheorie    272
10.3 Partialwellenmethode 273
10.3.1 Zerlegung nach Partialwellen    273
10.3.2 Exkurs uber Besselfunktionen     275
10.3.3 Radiallosung 279
10.3.4 Beispiel: Streuung an harter Kugel    281
10.3.5 Streuphasendarstellung, Optisches Theorem   282
10.3.6 Zuruck zur Streuung an harter Kugel     284
10.3.7 Integraldarstellung fur Streuphasen     287
10.3.8 Anwendung: Streuung langsamer Teilchen am Potentialtopf  290
10.3.9 Resonanzstreuung langsamer Teilchen am tiefen, breiten Potentialtopf 293
10.3.10 Breit-Wigner-Formel fur Resonanzstreuung    295
10.4 Bornsche Naherung 296
10.4.1 Integralform der Schrodinger-Gleichung   297
10.4.2 Bestimmung der Green’s-Funktion    298
10.4.3 Bornsche Darstellung der Streuamplitude   302
10.4.4 Erste Bornsche Naherung    303
10.4.5 Beispiel: Abgeschirmtes Coulombpotential=Yukawa-Potential  305
10.4.6 Bornsche Reihe 306
10.4.7 Gultigkeitsbereich der Bornschen N  aherung   307
11 Formale Streutheorie 309
11.1 Lippmann-Schwinger-Gleichung    309
11.2 Alternativer Zugang zur Lippmann-Schwinger-Gleichung   313
11.3 Die Streumatrix im zeitabhangigen Formalismus   317
11.4 Møllersche Operatoren 321
11.5 Die Transfermatrix 321
11.6 Goldene Regel, Optisches Theorem    322
11.7 Streutheorie bei Anwesenheit zweier Arten von Wechselwirkungen  325
11.7.1 Verzerrte Wellen-Naherung    328
12 Relativistische Quantenmechanik 331
12.1 Die Lorentz-Transformation 331
12.2 Minkowski-Raum 332
12.2.1 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren und Vierer-Tensoren   334
12.2.2 Freies Teilchen 335
12.3 Die Dirac-Gleichung 337
12.4 Losungen der freien Dirac-Gleichung    340
12.4.1 Ortunabhangige Losungen    340
12.4.2 Ebene Wellen-Losungen    341
12.4.3 Spinor-Normalisierung 344
12.4.4 Positron-Spinor 345
12.5 Alternative Form der Dirac-Gleichung    346
12.5.1 Erhaltungsgroßen fur das freie Fermiteilchen    347
12.5.2 Kontinuitatsgleichung und Zitterbewegung   349
12.6 Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld351
12.7 Feinstruktur als Konsequenz der Dirac-Gleichung   355
12.8 Exakte Losung der Dirac-Gleichung fur das Elektron im Coulomb-Feld   358
12.8.1 Energiequantelung 366
12.8.2 Eigenfunktionen 371
12.9 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation fur station  are Zustande  377
12.9.1 Problemstellung 377
12.9.2 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation im kraftefreien Fall  379
A Anhang 387
A.1 Empfohlene Literatur 387
A.1.1 Bucher zur Quantenmechanik:     387
A.1.2 Bucher f  ur mathematische Formeln (“Grundausstattung”):   387
A.1.3 Bucher f  ur mathematische Physik (“Grundausstattung”):   387