Die Quantenmechanik. Darunter versteht der Insider eine physikalische Theorie, welche das Verhalten der Materie im atomaren und subatomaren Bereich beschreibt. Sie erlaubt im Gegensatz zu den Theorien der klassischen Physik eine Berechnung der physikalischen Eigenschaften von Materie auch im Größenbereich der Atome und darunter. Sie bildet die Grundlage zur Beschreibung der Phänomene der Atomphysik, der Festkörperphysik und der Kern- und Elementarteilchenphysik, aber auch verwandter Wissenschaften wie der Quantenchemie.
Quantenmechanik ist eine der Hauptsäulen der modernen Physik. Das vorliegende 400seitige Werk ist ein "Skriptum" für die Studenten der Ruhr-Uni Bochum.
Ruhr-Universität Bochum. Ein Lob gebühren der Universität und dem Autor dafür, dass sie das "Script" unentgeltlich öffentlich zugänglich gemacht haben. Das ist nicht nur im deutschen Sprachraum noch keineswegs eine Selbstverständlichkeit und wirkt in praxi dem Vorurteil vom Elfenbeinturm wirksam entgegen.
Inhalt:
Vorlesung Theoretische Physik III
(Quantenmechanik)
gehalten
Reinhard Schlickeiser
Institut f¨ur Theoretische Physik
Lehrstuhl IV: Weltraum- und Astrophysik
Grafiken von Christian R¨oken
Bochum 2007
399 Seiten
Downloadgröße: 2,24 MB
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- 18.1.23 [Letzte Aktualisierung, online seit 4.4.11]
Ein Blick auf das Inhaltsverzeichnis sagt mehr:
0 Einleitung 1
0.1 Vorbemerkung 1
1 Wellenmechanik 3
1.1 Welle-Teilchen Dualismus 3
1.2 Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen 3
1.2.1 Photoelektrischer Effekt 3
1.2.2 Compton-Effekt 6
1.3 Wellenaspekte der Materie 8
1.4 Wellenfunktion 9
1.5 Wellenmechanik der Materie 10
1.5.1 Korrespondenzmaßiger Ubergang zu Differentialoperatoren im Orts-
raum, Freie Schrodinger-Gleichung 10
1.5.2 Klein-Gordon-Gleichung fur ein kr aftefreies Teilchen 12
1.5.3 Konstruktion eines freien Wellenpakets 13
1.5.4 Ausbreitung eines freien Wellenpakets aufgrund der Schrodinger-Gleichung 17
1.6 Statistische Interpretation der Wellenmechanik 22
2 Schrodinger-Gleichung 27
2.1 Bewegungsgleichungen im Schrodinger-Bild 27
2.1.1 Zwischenbemerkung: Operatoren 27
2.1.2 Wellengleichung 27
2.1.3 Allgemeines Verfahren fur Systeme mit klassischer Korrespondenz 30
2.1.4 Mehrdeutigkeiten bei der korrekten Herstellung des Hamilton-Operators 31
2.2 Normerhaltung und Kontinuitatsgleichung 31
2.2.1 Beispiel: Teilchen im eindimensionalen Potential 33
2.2.2 Kontinuitatsgleichung 33
2.3 Erwartungswerte 34
2.3.1 Ortsdarstellung 34
2.3.2 Impulsdarstellung 36
2.3.3 Symmetrisierung 38
2.4 Rechnen mit Operatoren 39
2.4.1 Rechenregeln fur Kommutatoren 40
2.4.2 Der Bahndrehimpuls-Operator 41
2.5 Ehrenfestscher Satz 42
2.6 Heisenbergsche Unscharferelation 44
2.6.1 Beispiel 1: Wellenpaket 46
2.6.2 Beispiel 2: Beugung am Spalt 47
2.6.3 Konsequenz der Unscharferelation fur Atome 48
2.7 Wellenmechanik als formale klassische Feldtheorie (Ausbau der allgemeinen
Theorie) 49
2.7.1 Lagrange- und Hamilton-Formalismus fur Felder 49
2.7.2 Lagrange-Dichte und Hamilton-Dichte 49
2.7.3 Lagrange-Formalismus 51
2.7.4 Hamilton-Dichte 52
2.8 Zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung 52
2.8.1 Separationsansatz 52
2.8.2 Vorteile von separablen Losungen 54
2.9 Erweiterung auf Mehrteilchensysteme 55
3 Eindimensionale Quantensysteme 57
3.1 Eindimensionale Schrodinger-Gleichung 57
3.2 Potentialtopf mit unendlich hohen Wanden 59
3.2.1 Losungseigenschaften 62
3.3 Der harmonische Oszillator 64
3.3.1 Algebraische Methode 65
3.3.2 Analytische Methode 68
3.3.3 Hermitesche Polynome 72
3.3.4 Die Nullpunktsenergie 76
3.4 Freie Teilchen 78
3.5 Potentialstufe 80
3.5.1 Fall 1: Teilchenenergie oberhalb Potentialstufe E > V0 81
3.5.2 Fall 2: Teilchenenergie unterhalb Potentialstufe E < V0 84
3.5.3 Unendlich hohe Potentialstufe V0 → ∞ 85
3.5.4 Wellenpakete 85
3.6 Differentialgleichungen mit regularen Singularitaten 86
3.6.1 Allgemeine Betrachtungen 87
3.6.2 Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 91
3.7 Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse 96
3.7.1 Beispiel 1: Besselfunktion 97
3.7.2 Beispiel 2: Hypergeometrische Differentialgleichung 98
3.7.3 Nebenbemerkung: Zusammenhang zwischen der hypergeometrischen
und der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung 98
3.7.4 Fuchssche Differentialgleichungen 99
4 Naherungsverfahren Schrodinger-Gleichung 107
4.1 Lineare homogene Differentialgleichung 2Ordnung 107
4.1.1 Normalform 107
4.1.2 Selbst-adjungierte Form 108
4.1.3 Beispiel: konfluente hypergeometrische Differentialgleichung 109
4.1.4 Riccati-Gleichung 110
4.2 WKB-Naherung (Methode von Liouville-Green) 111
4.2.1 Methode 111
4.2.2 Anwendung auf die stationare Schrodinger-Gleichung 112
4.2.3 Anwendung: Linearer harmonischer Oszillator (III) 122
4.2.4 Rezept zur approximativen Losung linearer homogener Differentialgleichungen
2Ordnung 123
4.2.5 Rezept zur approximativen Losung selbstadjungierter linearer Differentialgleichungen
2Ordnung 123
4.3 Anwendung: α-Zerfall, Tunneleffekt 125
4.3.1 Tunneleffekt 125
4.3.2 Anwendung auf den α-Zerfall 128
4.4 Rayleigh-Ritz Variationsmethode 131
4.4.1 Theorie 131
4.4.2 Beispiel: Grundzustand des linearen harmonischen Oszillators (IV) 132
4.4.3 Bezug zur Variationsrechnung 134
5 Allgemeine Formulierung der Quantenmechanik 135
5.1 Zustande und Observable im Hilbert-Raum 135
5.1.1 Ket-Vektor 135
5.1.2 Dualer Vektorraum, Bra-Vektor 136
5.1.3 Observablen 138
5.1.4 Basis 141
5.2 Darstellung von Vektoren 143
5.3 Darstellung von Operatoren 144
5.4 Eigenwertgleichung in Matrixform 146
5.4.1 Sakulargleichung 146
5.4.2 Entartete Eigenwerte, Schmidtsches Orthonormierungsverfahren 147
5.5 Wechsel der Darstellung, unitare Transformationen 148
5.6 Messprozess 151
5.6.1 Axiome der Quantenmechanik 151
5.6.2 Gleichzeitige Messbarkeit 152
6 Quantendynamik 155
6.1 Schrodinger-Bild 155
6.2 Heisenberg-Bild 156
6.3 Anmerkungen zum Schrodinger-Bild und Heisenberg-Bild 158
6.4 Wechselwirkungs-Bild 160
6.5 Heisenbergsche Operatormechanik 161
6.5.1 Quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme im Heisenberg-Bild 162
6.5.2 Beispiel: Linearer harmonischer Oszillator (V=I) 162
6.6 Allgemeine Unscharferelation 164
6.6.1 Schwartzsche Ungleichung fur das Skalarprodukt 164
6.6.2 Ableitung der allgemeinen Unscharferelation 164
6.6.3 Beispiele 166
7 Dreidimensionale Quantensysteme 169
7.1 Schrodinger-Gleichung in Kugelkoordinaten 169
7.2 Drehimpuls-Operator 172
7.2.1 Bestimmung der Eigenwerte 173
7.2.2 Weiterer Beweis der Eigenwerteigenschaften 175
7.2.3 Eigenfunktionen des Drehimpuls-Operators in Ortsdarstellung 176
7.3 Legendre-Polynome 178
7.3.1 Eigenschaften der Legendre-Polynome 179
7.3.2 Assoziierte Legendre-Polynome 184
7.4 Zentralfelder 187
7.5 Coulomb-Problem 188
7.5.1 Losung mit Kummer-Funktion 190
7.5.2 Mitbewegung des Atomkerns 192
7.5.3 Das Spektrum des Wasserstoffatoms 194
7.5.4 Kontinuumszustande E > 0 im Coulomb-Feld 196
7.6 Darstellung des Spins 196
7.6.1 Spin s = 197
7.6.2 Gedankenexperiment zu den Konzepten der Quantenmechanik 200
7.6.3 Magnetisches Moment 201
7.6.4 Heuristische Herleitung der Spin-Bahn-Kopplung 202
7.7 Identische Teilchen, Pauli-Prinzip 202
7.8 Periodisches System 205
7.8.1 Helium (Z = 2) 205
7.8.2 Metalle (Z > 2) 206
8 Storungstheorie 209
8.1 Zeitunabhangige Storungstheorie 209
8.1.1 Nicht-entarteter Eigenwert 210
8.1.2 Entarteter Eigenwert 213
8.2 Anwendung: Feinstruktur von Wasserstoff 215
8.2.1 Relativistische Korrektur des Hamilton-Operators 215
8.2.2 Spin-Bahn-Kopplung 217
8.2.3 Feinstrukturformel 219
8.3 Anwendung: Stark-Effekt 220
8.3.1 Nicht-entarteter Grundzustand |n, l, mi =| 1, 0, 0i 221
8.3.2 Entarteter Zustand n = 2 223
8.4 Anwendung: Zeeman-Effekt 226
8.4.1 Zeeman-Storoperator 226
8.4.2 Ohne Spin-Berucksichtigung 228
8.4.3 Begrundung: Vernachl assigung des Operators Hˆ0 229
8.4.4 Mit Spin-Berucksichtigung 230
8.4.5 Paschen-Back-Effekt 231
8.4.6 Schwacher Zeeman-Effekt 231
8.5 Zeitabhangige Storungstheorie 233
8.5.1 Uberg ange 1Ordnung 234
8.5.2 Mathematische Zwischenbetrachtung 235
8.5.3 Goldene Regel 237
8.5.4 Periodische Storung 238
9 Semiklassische Theorie der Strahlung 241
9.1 Grundgleichungen 241
9.2 Absorption und induzierte Emission 243
9.2.1 Monochromatische externe Felder 243
9.2.2 Absorption 245
9.2.3 Induzierte Emission 246
9.2.4 Nicht-monochromatische externe Felder 247
9.3 Elektrische Dipol-Approximation 251
9.4 Spontane Emission 253
9.4.1 Lebensdauer angeregter Zustande 254
9.4.2 Linienverbreiterung 255
9.5 Auswahlregeln 255
9.5.1 Wasserstoffahnliche Atome 255
9.5.2 Lebensdauer des 2p-Zustands 259
9.5.3 Laporte’s Auswahlregel 261
9.5.4 Viel-Elektronen Systeme 262
9.5.5 Absolute Ubergangsraten und Oszillatorst arke 262
9.6 Photoelektrischer Effekt 262
10 Streutheorie 269
10.1 Klassische Streutheorie 269
10.2 Quantenmechanische Streutheorie 272
10.3 Partialwellenmethode 273
10.3.1 Zerlegung nach Partialwellen 273
10.3.2 Exkurs uber Besselfunktionen 275
10.3.3 Radiallosung 279
10.3.4 Beispiel: Streuung an harter Kugel 281
10.3.5 Streuphasendarstellung, Optisches Theorem 282
10.3.6 Zuruck zur Streuung an harter Kugel 284
10.3.7 Integraldarstellung fur Streuphasen 287
10.3.8 Anwendung: Streuung langsamer Teilchen am Potentialtopf 290
10.3.9 Resonanzstreuung langsamer Teilchen am tiefen, breiten Potentialtopf 293
10.3.10 Breit-Wigner-Formel fur Resonanzstreuung 295
10.4 Bornsche Naherung 296
10.4.1 Integralform der Schrodinger-Gleichung 297
10.4.2 Bestimmung der Green’s-Funktion 298
10.4.3 Bornsche Darstellung der Streuamplitude 302
10.4.4 Erste Bornsche Naherung 303
10.4.5 Beispiel: Abgeschirmtes Coulombpotential=Yukawa-Potential 305
10.4.6 Bornsche Reihe 306
10.4.7 Gultigkeitsbereich der Bornschen N aherung 307
11 Formale Streutheorie 309
11.1 Lippmann-Schwinger-Gleichung 309
11.2 Alternativer Zugang zur Lippmann-Schwinger-Gleichung 313
11.3 Die Streumatrix im zeitabhangigen Formalismus 317
11.4 Møllersche Operatoren 321
11.5 Die Transfermatrix 321
11.6 Goldene Regel, Optisches Theorem 322
11.7 Streutheorie bei Anwesenheit zweier Arten von Wechselwirkungen 325
11.7.1 Verzerrte Wellen-Naherung 328
12 Relativistische Quantenmechanik 331
12.1 Die Lorentz-Transformation 331
12.2 Minkowski-Raum 332
12.2.1 Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren und Vierer-Tensoren 334
12.2.2 Freies Teilchen 335
12.3 Die Dirac-Gleichung 337
12.4 Losungen der freien Dirac-Gleichung 340
12.4.1 Ortunabhangige Losungen 340
12.4.2 Ebene Wellen-Losungen 341
12.4.3 Spinor-Normalisierung 344
12.4.4 Positron-Spinor 345
12.5 Alternative Form der Dirac-Gleichung 346
12.5.1 Erhaltungsgroßen fur das freie Fermiteilchen 347
12.5.2 Kontinuitatsgleichung und Zitterbewegung 349
12.6 Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung im elektromagnetischen Feld351
12.7 Feinstruktur als Konsequenz der Dirac-Gleichung 355
12.8 Exakte Losung der Dirac-Gleichung fur das Elektron im Coulomb-Feld 358
12.8.1 Energiequantelung 366
12.8.2 Eigenfunktionen 371
12.9 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation fur stationare Zustande 377
12.9.1 Problemstellung 377
12.9.2 Die Foldy-Wouthuysen-Transformation im kraftefreien Fall 379
A Anhang 387
A.1 Empfohlene Literatur 387
A.1.1 Bucher zur Quantenmechanik: 387
A.1.2 Bucher fur mathematische Formeln (“Grundausstattung”): 387
A.1.3 Bucher fur mathematische Physik (“Grundausstattung”): 387
